Math Enjoy Contest

  こんにちは、とぼです。今日は完全に趣味で,算数・数学・パズル関連の問題セットを作りました。エンジョイ勢の作った問題セットです！

　問題はかなりくだけた雰囲気のものを多めにしました。難易度は、完全にAから順に難しくなっていくわけではないですが,後半の方が難しいものが多めです。ただ,問題セットの難易度は比較的取り組みやすいものを多くしています。

　「見た目難しくても,やってみると意外と簡単！」

という問題も多いので是非やってみてください。

　解いてくれた方はコメントで解けた問題の解答を送ってください！

　２週間後に解答を公開しますが、コメントはそれまで非公開にします。

★Math Enjoy Contest

全13問 : 制限時間(目安) 2時間30分 (オーバーしてもOKです)

A. 反転数

　ある３桁の自然数abcがあります。

　とぼ君はこの数の一の位aと百の位cを入れ替えた数cbaと元の数abcを足すとちょうど3桁のゾロ目である数になることに気が付いて一人で喜びました。

　つまり、  abc + cba = ddd となります。(a,b,c,dは各位の数を表しています)

　このような3桁の自然数abcは何通りありますか。

B. 宇宙人

 　宇宙人が合計128人襲来しました。優秀なカメラマン富岳氏がこの宇宙128人全員を全身捉えた写真を収めることに成功し、これをYMUR新聞社に送りつけました。

　後日YMUR新聞社の記事に掲載された富岳氏の写真を見た宇宙人マニアの冬木君は、この宇宙人は足の数によって２種類の宇宙人「ゴモモ星人」と「ムルル星人」に分類できることを発見しました。冬木君の発見した情報は以下の３つです。

　・「ゴモモ星人」の足の本数は必ず32本である。

　・「ムルル星人」の足の本数は必ず64本である。

　・今回襲来してきた宇宙人128人の足の本数の合計は5504本である。

　さて、今回襲来してきた宇宙人のうち「ゴモモ星人」は何人いるでしょうか。

C. 9で割れるパンデジット数

 　0以上9以下の数字が各桁に１回づつ出現する１０桁の自然数を「パンデジット数」と呼びます。0が最上位に来てはいけないことに注意すると、9で割り切れるパンデジット数はいくつあるでしょうか。

D.　DDD大王の野望

　計算が苦手なDDD大王は自国の円周率を３にしてしまおうと考えました。これで円の面積の計算も楽勝です。

　しかし、物知りフームはこれに猛反対。フームは

「もし円周率を３にしたら円周の長さがそれに内接する正６角形の周の長さと同じになってしまうわ」

　と反論しましたがDDD大王は、

　「ワシは面積の計算が楽になればそれでいいんだぞい。ホレ、円周率を3にしても、円と正六角形の面積は違うゾイ！！」

　といい訳しました。フームは思わず

　「ぐぬぬ...,なんて暴論なのかしら...」

  とあっけにとられて押し黙ってしまいました。フームを助けるべく、円周率を3と仮定した場合に円の面積と等しくなってしまう、円に内接する正多角形を求めてあげましょう。

E.計算ミス

　整数a,b,cを用いた計算『a+b×c』は、当然b×cを先に計算します。しかし、ぼと君は昨夜徹夜したため寝ぼけていたので、a+bを先に計算してしまいました。その結果、本来の答えよりも60だけ計算結果が大きくなってしまいました。困った、困った。

　さて、このような(a,b,c)の組み合わせは何通りあるでしょうか。

　まあ、ぼと君にはよく寝てもらうとしましょう。

F. 世界のFizzBuzz

  3の倍数と3のつく数を読み上げるときにボケる「世界のアツナベ」,5の倍数と5のつく数を読み上げるときにボケる「宇宙のツナベア」の２人が,1から1000まで順に整数を読み上げていきます。2人がともにボケるような整数はいくつあるでしょうか。

G. Gaint Integer

  99⁹⁹以上100¹⁰⁰以下の整数はいくつあるでしょうか。答えは大きすぎるので、その下３桁を答えてください。

H.一筆書きボードゲーム

  m×nマスの長方形型ボードがあります(横mマス、縦nマス)。このボードを使い、以下のルールで遊ぶ「一筆書きボードゲーム」をします。なお、このゲームは一人用なのでぼっちでも楽しめます。

<ルール>:

 右からa番目、下からb番目のマスを(a,b)と記します。

 まず、1つの駒をボードの最右下のマス(1,1)におきます。

駒をタテ・ヨコに隣接するマスへ移動させていき、すべてのマスを１回ずつ通って最後に最左上のマス(m,n)にたどり着ければ「ゲームクリア」です。

　さて、m,nを１以上1000以下の整数とするとき、「ゲームクリア」可能な(m,n)の組み合わせは何通りあるでしょうか。

I. 狂気のKIRA

　ある独裁国家KIRA王国。その国の国王がKIRAさんです。

　この国のとある監獄「ローライト」に、１から600までの整数番号が割り振られた600人の死刑囚がいます。KIRA国王は少し気がふれているので、とある順番で死刑執行を行い、最後に残った２人は免罪にするように死刑執行人に命じました。その順番とは以下の恐ろしいルールに従います。

＜ルール＞：

　生き残っている死刑囚を割り振られた番号の若い順に右から左へ１列に並べる。そして、右から数えた順番が３の倍数である死刑囚を全員処刑する。以上を死刑囚が残り２人になるまで繰り返す。

　さて、この恐ろしいルールで処刑によって最後に処刑される不幸な死刑囚に割り振られた番号の和はいくつでしょうか。

J.立対角線

 「立対角線」とは、立体の２頂点を結ぶ線分であって、立体のいずれの面にも含まれないものをいいます。正１２面体の「立対角線」の本数を求めてください。

K.不思議な数列

　 A₁=1,

    An＝１＋（1/An-1）：（nは２以上の整数）

とするとき、An の一般項を直接求めるのは難しいですが、ある知識を持っている方なら以下の問題を解けばわかるかもしれません。

 [問] lim[n→∞] (An) を求めてください。

L.失われた幸福

　幸福の失われた123456890年後の世界では幸せの象徴である数字「7」が使用禁止になりました。この世界では、整数を0から順番に数えていくと

　0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 ,18, 19 ,20,...,69, 80, ...

 というようになります。

 すなわち、通常の我々の世界での10進法表記でNとあらわされる数がこの幸福レスな世界でd(N)とあらわされるとするとき、

　d(6)=6, d(7)=8, d(8)=9, d(16)=18 ...

のようになります。

　d(7777)を求めてください。

M.不思議なパーティ

 くりすぷ君は自分を含め1001人が参加する「ミステリ・パーティ」に来場しました。そこでしばらくの間まわりを観察していると、驚くべき以下の事実に気が付きました。

＜事実＞：

　1以上1000以下の任意の整数iに対して、自分以外の1000人のうちいずれか一人の「このパーティにおける知り合いの人数」がちょうどi人となる。

　なお、一方的な知り合い（AさんがBさんの知り合いであって、かつBさんがAさんの知り合いでない)は存在しないものとします。このパーティにおけるくりすぷ君の知り合いの人数を求めてください。

[問題終わり]